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bitterharvest’s diary

A Bitter Harvestは小説の題名。作者は豪州のPeter Yeldham。苦闘の末に勝ちえた偏見からの解放は命との引換になったという悲しい物語

Reactive Bananaで学ぶリアクティブ・プログラミング(2)

昨日は退職者慰労会が催された。これで、本当に退職するのだなあという実感がわいてきた。家に戻って、退職後の仕事をする場所の整備に取り掛かった。主たる仕事は、文章を書いたり、プログラムを作成したりなので、まず最初にパソコン関係の設置を行った。座った時に、南面の窓が左側になるようにして、写真のように、西側の壁に沿って、ディスプレイを置いた。
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左側の二つのディスプレイはWindows用。主に、文章作成に利用する。右側のディスプレイはUbuntu用。主に、プログラムの作成用だ。

その他に手元に置いておくのは、AmazonKindle Foreだ。7,8.9,10インチのものを持っているが、一番小さい7インチのものを一番よく用いている。軽いのが何よりだと思う。Kindleには、既に500冊以上もの書籍が収納されているので、大変に重宝している。大学を辞めると家の中が本であふれ、床が抜けたという話を聞くこともあるが、大学にあった千冊近くの本は、貴重な本もあったが、すべて大学に還元した。

4.イベントを理解する

前回の記事で、イベントを次のように定義した。

-- | Event is modeled by an /infinite/ list of 'Maybe' values.
-- It is isomorphic to @Time -> Maybe a@.
--
-- 'Nothing' indicates that no occurrence happens,
-- while 'Just' indicates that an occurrence happens.
newtype Event a = E { unE :: [Maybe a] } deriving (Show)

この定義は分かりにくかったかもしれない。分からなくなったときは、基本に立ち戻って考えるのがよい。圏論の用語を用いて説明すると次のようになる。

簡単な圏として、1以上の自然数の乗算を扱う圏\(\mathcal C_1\)を考えよう。圏の定義の仕方は一意的ではなく、幾通りもの方法が考えられる(しかし、それらはお互いに同値である)。ここでは、対象を1から始まる自然数とする。また、射を\(*n\)としよう。\(n\)はやはり1から始まる自然数である。この時、恒等射は1である。ソースとターゲットは1から始まる自然数である。射の結合は\(*m \circ *n = *(m \times n)\)と定義する。この圏\(\mathcal C_1\)を下図の左側に示した。
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イベントは、Maybeとリスト[ ]を用いて定義されているので、次に、この二つの圏を定義しよう。これらは、上図の真ん中の二つの図で示した。

Maybeの\(\mathcal C_2\)では、対象を\(Nothing\)と\(Just \ n\) (但し\(n\)は1以上の自然数)とした。また、Maybeを、圏\(\mathcal C_1\)からの関手で対応づけているので、射は\(fmap \ (*n)\)となる。恒等射は、もちろん、\(fmap \ (*1)\)となる。射を確認しよう。

*Reactive.Banana.Model> let a = Just 4
*Reactive.Banana.Model> fmap (*3) a
Just 12

リストの\(\mathcal C_3\)では、対象を、要素が1以上の自然数であるベクトルとした。また、リストを、圏\(\mathcal C_1\)からの関手で対応づけているので、射は、この場合はスカラー倍となるが、\(fmap \ (*n)\)となる。恒等射は、もちろん、\(fmap \ (*1)\)となる。同じように、射を確認しよう。

*Reactive.Banana.Model> let b = [3, 2, 5]
*Reactive.Banana.Model> fmap (*3) b
[9,6,15]

イベントは、Maybeの圏\(\mathcal C_2\)を関手[]で対応付けたようなもの、あるいは、リストの\(\mathcal C_4\)を関手maybeで対応付けたようなものに近い。イベントをMaybeとリストと同じように、圏\(\mathcal C_1\)からの関手Eventで対応づけているものとすると、この圏\(\mathcal C_4\)は、対象をMaybeの対象をリストにしたものとなる(但し、リストの前に値コンストラクタのEが付く)。また、射は、上の二つと同様で、\(fmap \ (*n)\)となる。恒等射は、もちろん、\(fmap \ (*1)\)となる。ここでも、射を確認しよう。

*Reactive.Banana.Model> let c = [Just 3, Just 2, Nothing]
*Reactive.Banana.Model> let d = E c
*Reactive.Banana.Model> fmap (*3) d
E {unE = [Just 9,Just 6,Nothing]}

正しく、働いていることが分かった。

なお、Reactive.Banana.Modelでは、Eventのファンクタは次のように定義されている。

instance Functor Event where
    fmap f (E xs) = E (fmap (fmap f) xs)

右側の式は、Maybeの値を要素とするリストxsを作成し、その要素のそれぞれに、即ちMaybeの値に、\(fmap \ f\)を施してやり、それをリストとして返すというものである。圏\(\mathcal C_2\)を関手[ ]で対応づけた圏\(\mathcal C_3\)を作成し、それを関手Eventで対応づけた圏\(\mathcal C_4\)を得よといっている。これを確認すると次のようになる。

*Reactive.Banana.Model> let c = [Just 3, Just 2, Nothing]
*Reactive.Banana.Model> let e = fmap (fmap (*3)) c
*Reactive.Banana.Model> e
[Just 9,Just 6,Nothing]
*Reactive.Banana.Model> E e
E {unE = [Just 9,Just 6,Nothing]}

また、これを図で示すと次のようになる。
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