bitterharvest’s diary

A Bitter Harvestは小説の題名。作者は豪州のPeter Yeldham。苦闘の末に勝ちえた偏見からの解放は命との引換になったという悲しい物語

極限-錐

1.4 錐

これまで、2回にわたって、圏論での極限の具体的な例を示してきた。そこでは、二つの対象\(A\),\(B\)とその極限\(A \times B\)ということで説明をした。また、極限は、ある条件を満たすものの中で最も良いものといういい方もした。また、ある条件を満たすものを候補とも説明した。

それでは、このような候補はどのようにして選ばれるのであろうか。あるいはさらに戻って、二つの対象はどのようにして選ばれるのであろうか。これらを選ぶ基準がないと、極限という概念を組み立てていくことができない。

そこで、ここでは、これらの選び方について説明することとする。

2対象からの錐

まず単純な例から説明しよう。二つの圏が与えられているとする。

一つの圏は、二つの対象\(1\),\(2\)しか有しない離散的な圏としよう(下図)。即ち、射は恒等射\(id\)しか有しないものとしよう。これを圏\(\bf{2}\)と呼ぶことにしよう。
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もう一つの圏を\(\mathcal {C}\)と呼ぶことにし、ここから二つの対象を適当に選び、これを\(A\),\(B\)にしたとしよう。そこで、圏\(\bf{2}\)からこれらの対象に関手\(D\)を張ることを考えよう。これは、
\begin{eqnarray}
A=D(1) \\
B=D(2) \\
id_A=D(id_1) \\
id_B=D(id_2)
\end{eqnarray}
となるような\(D\)が存在するならば、関手を張ることが可能である。ここで、\(id_1,id_2,id_A,id_B\)はそれぞれの対象での恒等射である。
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このような関手が張れたとしよう(上図)。そして、\(\mathcal {C}\)からもう一つ対象を選んできたとし、これを\(C\)としよう。これに対して、圏\(\bf{2}\)からこの対象に関手\(\Delta_C\)を張ることを考えよう。同じように
\begin{eqnarray}
C=\Delta_C (1) \\
C=\Delta_C (2) \\
id_{C}=\Delta_C (id_1) \\
id_{C}=\Delta_C (id_2)
\end{eqnarray}
となるような\(C\)が存在するならば、関手を張ることが可能である。ここでも満たしたとしよう(下図)。
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そこで、\(D\)から\(id_{C}\)への自然変換を考えよう。

自然変換

それでは、自然変換を復習しておこう。

下図に示すように、圏\(\mathcal{C}\)から圏\(\mathcal{C'}\)に対して関手\(D,D'\)が存在したとしよう。
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関手\(D\)から\(D'\)への自然変換\(Nat(D,D')\)とは、\(\mathcal{C}\)の任意の対象\(A,B\)に対して、下図が可換になることを言う。なお、\(A\)から\(B\)への射を\(f:A \rightarrow B\)とする。


上図は次のようになっている。
\begin{eqnarray}
D_A = D (A) \\
D_B = D (B) \\
D_f = D (f) \\
D'_A = D' (A) \\
D'_B = D' (B) \\
D'_f = D' (f)
\end{eqnarray}
である。

射\(f\)と\(g\)が同型写像(isomorphism)である時(写像されたもの同士の間で1対1の写像が成り立つとき)、\(f\simeq g\)で表すことにすると、可換は、\(\alpha_B \circ D_f \simeq D'_f \circ \alpha_A\)を満たすことである。

圏\(\bf{2}\)からの自然変換

それでは、圏\(\bf{2}\)の自然変換を考えてみよう。(下図)。
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例えば、圏\(\bf{2}\)での対象1について考えよう。これは、\(D\)によって\(A\)に、\(\Delta_C\)によって\(C\)に写像変換されている。\(C\)から\(A\)への写像を\(\alpha_1\)とすると、これが自然変換を構成する要素となる。

対象2についても同様で、\(C\)から\(B\)への写像を\(\alpha_2\)とすると、これが自然変換を構成する要素となる。

なお、\(A\)と\(B\)の間には写像が存在しないので、可換の条件は存在しない。このため、\((\alpha_1,\alpha_2)\)は自然変換\(Nat(\Delta_C,D)\)となる。
一般には、自然変換は一つの組合せとは限らず、複数存在する。従って、可換を満たすものが\(n\)組ある場合には、\(Nat(\Delta_C,D)=\{(\alpha_1^1,\alpha_2^1),\{(\alpha_1^2,\alpha_2^2),...,\{(\alpha_1^i,\alpha_2^i)\}\)となる。

このようなものを選ぶことができるなら、\(C\)は\(A\)と\(B\)の積の極限への候補となる。

問題1:圏\(\bf{2}\)を利用して、二つの整数の公約数を選び出しなさい。
問題2:圏\(\bf{2}\)を利用して、料理作り好きな友人のリストの候補を作成しなさい。ヒント:知り合いを\(A\)とし、趣味を\(B\)を出発点に考えなさい。ここから絞っていくと、答えの一つとして、\(A\)は料理好きな友達の集まり、\(B\)は仏料理や和食のような種類の集まりを得る。

インデックス圏からの自然変換

圏\(\bf{2}\)をもう少し一般化してインデックス圏を用いてみよう。インデックス圏は、対象にインデックスが付加されており、対象間では射が定義されているものとする。ここでは、インデックス圏の中で最も単純な3つの対象からなるものを利用しよう。下図に示すように、インデックス圏\(\mathcal{I}\)と圏\(\mathcal{C}\)が存在したとしよう。
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圏\(\bf{2}\)の場合と同じように、\(\mathcal{C}\)から三つの対象\(D_I,D_J,D_K\)を選んだとしよう。これらには\(\mathcal{C}\)から関手\(D\)で張ることができたとしよう(下図)。
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即ち、前回と同じように次が満たされたとする。
\begin{eqnarray}
D_I=D(I) \\
D_J =D(J) \\
D_K=D(K) \\
Df=D(f) \\
Dg=D(g) \\
Dh=D(h) \\
id_{D_I}=D(id_I) \\
id_{D_J}=D(id_J) \\
id_{D_K}=D(id_K)
\end{eqnarray}

次に、\(\mathcal{C}\)から一つの対象\(C\)を選んだとしよう。これらには\(\mathcal{C}\)から関手\(\Delta_C\)で張ることができたとしよう(下図)。
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即ち、次が満たされたとする。
\begin{eqnarray}
C=D(I) \\
C =D(J) \\
C =D(K) \\
id_{C }=\Delta_C f =\Delta_C(f) \\
id_{C }=\Delta_C g =\Delta_C(g) \\
id_{C }=\Delta_C h=\Delta_C(h) \\
id_{C }=D(id_I) \\
id_{C }=D(id_J) \\
id_{C }=D(id_K)
\end{eqnarray}


ここで、関手\(\Delta_C\)から関手\(D\)に対して自然変換が成り立ったとしよう(下図)。
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自然変換は、ドメインとなった圏の対象ごと、ここではさらに射もあるので射ごとにも、ドメイン側の圏で、移されたものの間を射で結んだ時に、可換を保持しなければならない。これは、圏\(\bf{2}\)の時の説明と同じである。

このため、対象\(I,J,K\)に対して、射\(\alpha_I:C \rightarrow D_I, \alpha_I:C \rightarrow D_J,\alpha_I:C \rightarrow D_K\)が存在し、可換の条件を満たさなければならない。
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まず、射\(f\)に対しては、次のことが満たされなければならない(下図)。

即ち、
\begin{eqnarray}
\alpha_J \simeq Df \circ \alpha_I
\end{eqnarray}

同様に射\(g\)に対して、
\begin{eqnarray}
\alpha_K \simeq Dg \circ \alpha_J
\end{eqnarray}
が成り立ち、射\(h\)に対して、
\begin{eqnarray}
\alpha_K \simeq Dh \circ \alpha_I
\end{eqnarray}
が成り立たなければならない。

この結果、下図に示すように、\(C\)を頂点として形作られた三角錐(\(C,D_I,D_J,D_K\))は、そのすべての側面において可換であるならば、自然変換である。即ち、\(\{(\alpha_I,\alpha_J,\alpha_K)\}\)は自然変換\(Nat(\Delta_C,D)\)の一つである。一般にはこのようなものは一つとは限らない。\(i\)個存在するとするならば、自然変換は\(Nat(\Delta_C,D)=\{(\alpha_I^1,\alpha_J^1,\alpha_K^1),(\alpha_I^2,\alpha_J^2,\alpha_K^2),...,(\alpha_I^i,\alpha_J^i,\alpha_K^i)\}\)である。
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今回は、3つの対象からなるインデックス圏を用いて三角錐を得た。インデックス圏の対象を増やしていくと三角錐は円錐へと近づいていく。圏論では、インデックス圏から得られるこのような物体を錐(cone)と呼んでいる。

極限の定義はこの錐を用いて定義できるが、その話は次回行う。