bitterharvest’s diary

A Bitter Harvestは小説の題名。作者は豪州のPeter Yeldham。苦闘の末に勝ちえた偏見からの解放は命との引換になったという悲しい物語

極限-錐と極限のさらなる抽象化

1.7 錐と極限のさらなる抽象化

前回の記事で、錐は二つの異なる方法で作成できることが分かった。一つは、錐の頂点から錐の底面への写像を自然変換で与えるものである。もう一つは、求める錐の頂点から極限の錐の頂点への射を与えるものである。

前回は、さらに、この二つの方法は同型の写像を与えることも示した。写像が同型であるので、この間で自然変換を定義できるようになる。求める錐の頂点を\(C\)としたとき、この始自然変換を\(\alpha_C\)で表すことにしよう。図で示すと次のようになる。
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ここまでが前回の話である。

それでは、この方法によって、\(C\)を頂点とする錐が得られたとする。この得られた錐から、別の錐\(C’\)を求めるにはどのようにしたらよいであろうか(下図)。
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なお、\(C\)と\(C’\)には、\(f:C’ \rightarrow C\)の関係があるものとする。ここで、\(f:C \rightarrow C’\)でないことに注意しておいてほしい。訳はすぐに分かる。

これの可換図を求めると次のようになる。なお、関手は射も写像するが、その時移す側と移される側で向きが同じとき、この関手は共変関手(contravariant)と呼ばれる。それに対して、反対になるときは、関手は反変関手(contravariant)と呼ばれる。そこで、上の図では反変関手なので、\(f\)が移されている先を\(contramap \ f\)とした。
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上図の可換図で\(\mathcal{C}(C,LimD)\)は射の集合であるので、それを\(u: C \rightarrow LimD\)と表すことができる。また、\(\mathcal{C}(C’,LimD)\)を\(v: C' \rightarrow LimD\)と表すことができる。ところで、\(f:C' \rightarrow C\)なので、\(v=u \circ f\)となる。

また、\([\mathcal{I,C}](\Delta_C,D)\)は自然変換である。従って、これはインデックス圏の対象\(I\)毎に、\(\mu_I:C \rightarrow D_I\)と表すことができる。同様に、\([\mathcal{I,C}](\Delta_{C'},D)\)を\(\nu_I:C’ \rightarrow D_I\)と表すことができ、先ほどと同様に、\(\nu_I =\mu_I \circ f\)となる。

この関係を示したのが下図である。
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この可換図から、圏\(\mathcal{C}\)での頂点を\(C\)とする錐から、圏\([\mathcal{I,C}]\)での頂点\(C’\)の錐を求めるには、圏\(\mathcal{C}\)で\(C’\)に移動してから圏\([\mathcal{I,C}]\)にジャンプしてもよいし、圏\(\mathcal{C}\)から圏\([\mathcal{I,C}]\)にジャンプしてから\(C’\)に移動してもよいと言っている。これを図で表すと以下のようになる。
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極限の理論的な話はここまでだが、次回はいくつか例を示そう。