１．好きになれなかった順列と組合せ
順列と組合せは高校生の時に学んだが、数学のほかの分野と異なり、これだけは孤立していて、また、その後の学問的発展も見られそうになかったので、興味のわかない分野であった。後に、確率・統計学も学ぶことになるが、これも同じような意味で好きになれない分野であった。
順列・組合せと確率・統計学はオペレーションズリサーチやパターン認識などの分野で有用になるのだが、未だに、好きになれない分野の一つである。
２．合コンした時のカップルへの期待
多くの人が体験し、楽しい思い出や、悲しい思い出を持っているであろう合コンを例にとって組合せの問題から考えることにする。今、男性３人、女性３人が出会ったとする。すべての人がカップルになれたとし、その時の組み合わせはどのようになるかをHaskellで解いてみる。
男性は１から３までの番号を女性は６から８までの番号がついていたとし、カップルを番号のタプルで表すことにする。その時の組み合わせは以下のようになる。
[(x,y) | x <- [1..3], y <- [6..8]]
これを実行すると、
[(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6),(3,7),(3,8)]
が得られる。
組合せの数は、上記の要素を数えればよいのだが、Haskellには、リストの長さを教えてくれる関数lengthがあるので、それを用いる。
length [(x,y) | x <- [1..3], y <- [6..8]]
もちろん９が出力される。
それでは、男性の２番の人は女性８番の人とカップルになりたいと思っている。その時の組合せを求めてみる。２と８はすでに決まっているので、この２人を除いてのカップルを求めればよいので、次のようになる。
[(x,y) | x <- [1,3], y <- [6..7]]
これを実行すると、
[(1,6),(1,7),(3,6),(3,7)]
が得られる。
それでは、男性２と女性８がカップルになる確率を求める。これは、２と８を除いた時の組合せ数を全体の組合せ数で割ったあげればよい。
fromIntegral (length [(x,y) | x <- [1,3], y <- [6..7]]) / fromIntegral (length [(x,y) | x <- [1..3], y <- [6..8]])
上記のプログラムで、fromIntegralが気になることと思う。Haskellはとても型にうるさい言語である。今求めようとしているのは確率なので実数である。これに対して、lengthはリストの長さなので、整数である。整数を整数で割ったも実数を得ることはできないというのがHaskell流である。そこで、fromIntegralを用いて、整数にも実数にもなれる型に変えてしまう。
２．玉手箱からボールを取り出す
玉手箱には、赤、白、黄色、青、緑の五つのボールが入っているとし、そこから３つを順番に取り出すこととする。幾通りの並び方があるかを考える。これは順列の問題である。今、これらのボールに番号をつけ１から５とする。同じものが出てきてはいけないという条件を付けて、３回選ぶようにするとプログラムは次のようになる。
[(x,y,z) | x <- [1..5], y <- [1..5],z <- [1..5], x /= y, x /= z, y /= z]
これの答えは次のようになる。
[(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,2),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,2),(1,4,3),(1,4,5),(1,5,2),(1,5,3),(1,5,4),(2,1,3),(2,1,4),(2,1,5),(2,3,1),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,1),(2,4,3),(2,4,5),(2,5,1),(2,5,3),(2,5,4),(3,1,2),(3,1,4),(3,1,5),(3,2,1),(3,2,4),(3,2,5),(3,4,1),(3,4,2),(3,4,5),(3,5,1),(3,5,2),(3,5,4),(4,1,2),(4,1,3),(4,1,5),(4,2,1),(4,2,3),(4,2,5),(4,3,1),(4,3,2),(4,3,5),(4,5,1),(4,5,2),(4,5,3),(5,1,2),(5,1,3),(5,1,4),(5,2,1),(5,2,3),(5,2,4),(5,3,1),(5,3,2),(5,3,4),(5,4,1),(5,4,2),(5,4,3)]
数えるのが大変なので、lengthを用いて長さを求める。
length [(x,y,z) | x <- [1..5], y <- [1..5],z <- [1..5], x /= y, x /= z, y /= z]
得られる答えは６０である。
