６．６ 集合値関手を積として表す
米田の補題は次のようになっていた。局所的に小さな圏\(\mathcal{C}\)と集合の圏\(\mathbf{Set}\)、これらによって作られる関手圏\([\mathcal{C},\mathbf{Set}]\)を考える。任意の対象\(A \in \mathcal{C}\)と任意の関手\(F: \mathcal{C} \rightarrow\mathbf{Set}\)に対して、
\begin{eqnarray}
[\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F) \cong F(A)
\end{eqnarray}
が成り立つのが米田の補題である(\(\cong\)は左辺と右辺が同型である、即ち、全単射であることを示す)。また、\(\mathcal{C}(A,-): \mathcal{C} \rightarrow \mathbf{Set}\)は関手であり、\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C}(A,-),F) \)は、\(\mathcal{C}(A,-)\)から\(F\)への自然変換である。
そこで、\(F(A)\)の性質について考えることとしよう。\(F(A)\)は、\(A\)に\(F\)というコンテナで覆ったものと考えることが可能である。従って、馴染み深い積\((F,A)\)と考えてみてはどうだろうか。
\(F\)は圏\([\mathcal{C},\mathbf{Set}]\)の対象であり、\(A\)は\(\mathcal{C}\)の対象である。また、\(F(A)\)は\(\mathbf{Set}\)の対象である。従って、\(F\)と\(A\)の積から\(F(A)\)への射は
\begin{eqnarray}
[\mathcal{C},\mathbf{Set}] \times \mathcal{C} \rightarrow \mathbf{Set}
\end{eqnarray}
となる。
これを利用して、\((F,A)\)を\(F(A)\)へ移す関手を考えよう。また、\((F,A)\)から、\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F)\)へ移す関手も考えてみよう。
圏\(([\mathcal{C},\mathbf{Set}] \times \mathcal{C})\)は下図のようになる。
図には二つの対象\((F,A)\)と\((G,B)\)を設けた。そして、その間の射を\((\mu,u)\)とした。即ち、
\begin{eqnarray}
\forall X.\mu_X &:& F(X) \rightarrow G(X) \\
u&:& A \rightarrow B
\end{eqnarray}
１）関手：\((F,A),(F,B)\)から\(F(A),F(B)\)へ
それでは、圏\(([\mathcal{C},\mathbf{Set}] \times \mathcal{C})\)の対象\((F,A)\),\((G,B)\)から圏\(\mathbf{Set}\)の対象\(F(A)\),\(G(B)\)へ下図のように射を設けてみよう。
このとき、これは関手であると考えることにしよう。このとき、\(F(A)\)から\(G(B)\)への射は、\(G(A)\)を経由しての合成射と同一になる。従って、
\begin{eqnarray}
&& F(A) \rightarrow G(B) \\
&=& F(A) \rightarrow G(A) \rightarrow G(B) \\
\mu_A &:& F(A) \rightarrow G(A) \\
G(u) &:& G(A) \rightarrow G(B)
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
G(u) \circ \mu_A : F(A) \rightarrow G(B)
\end{eqnarray}
を得る。
また、\(F(B)\)を経由しての合成射とも同一であるので、
\begin{eqnarray}
&& F(A) \rightarrow G(B) \\
&=& F(A) \rightarrow F(B) \rightarrow G(B) \\
\mu_B &:& F(B) \rightarrow G(B) \\
F(u) &:& F(A) \rightarrow F(B)
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
\mu_B \circ F(u) : F(A) \rightarrow G(B)
\end{eqnarray}
を得る。
これより、関手であれば、
\begin{eqnarray}
G(u) \circ \mu_A=\mu_B \circ F(u)
\end{eqnarray}
であることが分かる。可換図式で示すと次のようになる。
逆は言えるのであろうか。即ち、上の式が成り立つとき、関手となるだろうか。この証明は読者に任せる。
２）関手：\((F,A),(F,B)\)から\(( (A, -),F),((B, -),G)\)へ
それでは次に、\((F,A)\)から、\( [\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F) \)への射を関手と考えてみよう。それには、下図を用いる。
ところで、\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F)\)と\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (B, -),G)\)の間の射は、上から下へだろうか、それとも下から上へであろうか。射の向きは、\({\rm Hom}\)関手が共変であるか反変であるに依存する。
一般に、合成射\(g \circ f\)を関手\(F\)によって写した時、\(F(g \circ f)= F(g) \circ F(f)\)の時、関手\(F\)を共変関手という。また、\(F(g \circ f)= F(f) \circ F(g)\)の時、関手\(F\)を反変関手という。
下図においては、関手\(\mathcal{C}(A,-)\)は、\(Sheet \ A\)のところで、
\begin{eqnarray}
f: X \rightarrow Y \\
id_A : A \rightarrow A \\
u : A \rightarrow X \\
v : A \rightarrow Y
\end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
v= f \circ u \\
\end{eqnarray}
となるので、共変関手である。
これに対して、関手\(\mathcal{C}(-,A)\)は、下図のようになるので反変関手である。
それでは、今考えている\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F)\)は、\( (A, -)\)の\(A\)の部分が変わるので、反変である。さらに、\((\mathcal{C} (A, -),F)\)で、\( (A, -)\)の部分が変化するので、また、反変である。反変の反変となっているので、全体では共変となる。
従って、\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F)\)と\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (B, -),G)\)の間の射は、下図に示すように、上から下へとなる。そこで、この射を求めることを考えよう。
いま、圏\([\mathcal{C},\mathbf{Set}] \times \mathcal{C}\)で、対象\((F,A)\)と 対象\((G,B)\)が与えられ、その間の射は\((\mu,u)\)であったとする。即ち、
\begin{eqnarray}
\mu_X : F(X) \rightarrow G(X) \\
u: A \rightarrow B
\end{eqnarray}
である。
さらに、\(A\),\(B\)が属している圏\(C\)での任意の対象を\(X\)としよう。そして、
\begin{eqnarray}
w’: B \rightarrow X
\end{eqnarray}
であったとする。
このとき、\(w: A \rightarrow X\)とすると\(w=w’ \circ u\)となる。
次に、圏\(\mathbf{Set}\)を考えよう。\((F,A)\)が写された先は、\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (A, -),F)\)である。この射は自然変換なので、\(\alpha\)で表すと、次のようになる。
\begin{eqnarray}
\alpha_X: \mathcal{C}[A,X] \rightarrow F(X)
\end{eqnarray}
同様に、\([\mathcal{C},\mathbf{Set}](\mathcal{C} (B, -),G)\)を\(\beta\)とすると、
\begin{eqnarray}
\beta_X: \mathcal{C}[B,X] \rightarrow G(X)
\end{eqnarray}
それでは、この間での変換を求めてみよう。下図を参考にする。
\( w=w’ \circ u \in \mathcal{C}(A,X)\)なので、\(\alpha_X \circ w’ \circ u \in (F(X)\)である。また、\(\mu_X:F(X) \rightarrow G(X)\)なので、\(\mu_X \circ \alpha_X \circ w’ \circ u \in (G(X)\)となる。
同様に、\( (w’:B \rightarrow X) \in \mathcal{C}(B,X)\)なので、\(\beta_X \circ w’ \in G(X)\)である。
これから
\begin{eqnarray}
\beta_X \circ w’ = \mu_X \circ \alpha_X \circ w’ \circ u
\end{eqnarray}
を得る。即ち、関手であれば、上記の式が満たされることが分かる。上記の式が満たされるとき、関手になるかどうかは、読者の方で調べて欲しい。
今回は、米田の補題と積との関連について考えたが、このように、他との関連を考えることにより、米田の補題の利用の範囲を広げることができる。永かった米田の補題の説明はこれで終了である。次回は、米田の埋め込みを説明する。
