モノイドーHaskellでの表現 - bitterharvest’s diary

１３．モノイド

モノイド圏は、集合の要素を射に、二項演算子を射の合成に、そして、単位元を恒等射にし、結合律、単位律が成り立っているものをいう。

例えば、整数の乗算の場合には、
1) 対象：シングルトン(通常星印で表される)
2) 射：整数
3) ドメイン、コドメイン：シングルトン
4) 恒等射：1
5) 合成: \(\times\)
① 結合律：満足
② 単位律：満足

しかし、上記の例でみたように射は集合の要素となるので、圏としては、余りにも細かいものが見えて気持ちよくない。そこで、構成要素を隠すように抽象化したい。しかし、いきなり、抽象化の議論を進めるのは気が引けるので、モノイドとは何かをHaskellを利用して慣れておこう。

１３．１　Haskellでのモノイド

HaskellではモノイドはData.Monoidでクラスとして次のように定義されている。

class Monoid m where
  mempty :: m
  mappend :: m -> m -> m
  mconcat :: [m] -> m
  -- defining mconcat is optional, since it has the following default:
  mconcat = foldr mappend mempty

これに従えば、モノイドを使うときは\(mempty\)と\(mappend\)を定義する必要がある。なお、\(mappend\)は、中置関数\(<>\)でしばしば置き換えられる。

x <> y = mappend x y

また、結合律と単位律を満たさなけらばならないので、次の式を満たさなければならない。

-- Identity laws
x <> mempty = x
mempty <> x = x
-- Associativity
(x <> y) <> z = x <> (y <> z)

それでは、文字列の結合をモノイドとして定義しよう。次のようになる。

instance Monoid [a] where
  mempty = []
  mappend x y = x ++ y
  mconcat = concat

積は次のようになる。積は数(\(Num\))に対する二項演算子であるが、モノイドとして定義するときは、\(Product\)と呼ばれる新しいデータ型(コンテナ)を用意する。

newtype Product n = Product n
 
instance Num n => Monoid (Product n) where
  mempty = Product 1
  mappend (Product x) (Product y) = Product (x * y)

和(余積)は次のようになる。ここでも、\(Sum\)と呼ばれる新しいデータ型(コンテナ)を用意する。

newtype Sum n = Sum n
 
instance Num n => Monoid (Sum n) where
  mempty = Sum 0
  mappend (Sum x) (Sum y) = Sum (x + y)

それでは利用してみよう。なお、Data.Monoidでは\(getProduct,getSum\)により、演算結果を数(\(Num\))のデータ型で表す関数を用意している。

Prelude> import Data.Monoid
Prelude Data.Monoid> [1,2,3] <> [5,6]
[1,2,3,5,6]
Prelude Data.Monoid> [1,2,3] <> []
[1,2,3]
Prelude Data.Monoid> [] <> [2,3,4]
[2,3,4]
Prelude Data.Monoid> Product 3 <> Product 5
Product {getProduct = 15}
Prelude Data.Monoid> Product 3 <> Product 1
Product {getProduct = 3}
Prelude Data.Monoid> Product 1 <> Product 2.34
Product {getProduct = 2.34}
Prelude Data.Monoid> getProduct $ Product 32.5 <> Product 2.34
76.05
Prelude Data.Monoid> getProduct $ Product (3 / 4) <> Product ( 6 / 7)
0.6428571428571428
Prelude Data.Monoid> getSum $ Sum 4 <> Sum 5
9
Prelude Data.Monoid> getSum $ Sum 4 <> Sum 0
4
Prelude Data.Monoid> getSum $ Sum 0 <> Sum 5.5
5.5
Prelude Data.Monoid> getSum $ Sum ( 2.3 * 5) <> Sum (5.5 + 3.2)
20.2

１３．モノイド

１３．１ Haskellでのモノイド

１３．１　Haskellでのモノイド