随伴関手 － 随伴から導き出される可換図式

７．６　随伴から導き出される可換図式

随伴の定義からどのような可換図式が導きだされるかを考えてみよう。随伴の定義は次のようになっている。

二つの局所的に小さな圏\(\mathcal{C},\mathcal{D}\)において、関手の対\(R: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}, L: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}\)が三角恒等式を満たす次の射\(ϵ,η\)を有する時、随伴であるという。

\begin{eqnarray}
ϵ : L \circ R \rightarrow I_\mathcal{C} \\
η : I_\mathcal{D} \rightarrow R \circ L
\end{eqnarray}

そこで、この式を用いて\(L\)を変形してみよう。

最初に、\(L\)は\(L \circ I_\mathcal{D}\)に変形できる。次に、\(η : I_\mathcal{D} \rightarrow R \circ L \)を用いて、\( L \circ R \circ L \)に変形できる。さらに、\(ϵ : L \circ R \rightarrow I_\mathcal{C} \)を用いて、\( I_\mathcal{C} \circ L \)に変形できる。これは、\( L \)と同じである。

式の変形を可換図式で表すと下図の左側を得る。

同様に、\(R\)で始めると、
\begin{eqnarray}
&&R \\
&=& I_\mathcal{D} \circ R \\
&=& R \circ L \circ R \\
&=& R \circ I_\mathcal{C} \\
&=& R
\end{eqnarray}
をえる。これを可換図式にしたのが、上図の右側である。

この二つの可換図式は、英語ではTriangle Identitiesと呼ばれている。

上の可換図式は、関手をベースに考えたが、圏をベースに可換図式を描くと次のようになる。

随伴の定義をウィキペディアで調べると、違う方法で定義されることが分かる。次回は、この話をしよう。