１．全射と単射
圏論では写像は重要な概念である。簡単な圏では写像は射となるが、圏をさらに抽象化すると、写像は対象として扱われる。そこで、ここでは、写像に関する重要な性質をまとめる。
全射：写像\(f:X \rightarrow Y\)とした時、\(Y\)の任意の要素\(y \in Y\)に対して、\(y=f(x)\)とするような\(x\)が存在するとき、\(f\)は全射であるという。
下図は全射の例である。
単射の定義：写像\(f:X \rightarrow Y\)とした時、任意の\(x,x' \in X\)に対して、\(x \neq x'\)であるとき、\(f(x) \neq f(x')\)であるならば、\(f\)は単射であるという。
下図は単射の例である。
全単射の定義：写像\(f:X \rightarrow Y\)が全射でありかつ単射である時、\(f\)は全単射であるという。この時、写像\(f^{-1}:Y \rightarrow X\)が存在する。\(f\)が全単射の時、\(X\)と\(Y\)は同型であるという。
下図は全単射の例である。
２．セクションとリトラクション
集合\(A\)から集合\(B\)を経由して集合\(A\)に戻る二つの写像\(s: A \rightarrow B\), \(r: B \rightarrow A\)を考え、この二つの写像は\(r \circ s = 1_A\)を満足するものとする（下図参照）。
この時、\(r\)は全射となり、\(s\)は単射となる。
このことから、\(B\)の要素数は\(A\)のそれを下回ることはない。
\(B\)の要素数と\(A\)のそれとが同数の時は、\(A\)と\(B\)は同型である。
\(B\)の要素数が\(A\)のそれを上回るときは、\(r\)は単射にはならない。また、\(s\)は全射にはならない。この時、\(r\)によって、\(B\)の複数の要素が\(A\)の一つの要素に写像されることになる（後退させられる）ので、\(r\)をリトラクションという。また、\(f\)によって、\(B\)の複数の要素の中から\(A\)の一つの要素に写像されるものが選ばれる（区切られる）ので、\(s\)をセクションという。
また、\(e=r \circ f\)とすると、\(e=e \circ e\)となるので、\(r \circ f\)は冪等性を有する。
３．モノ射とエピ射
セクションとリトラクションと一般化したのが、モノ射とエピ射である。
モノ射の定義：\(m: A \rightarrow B\)がモノ射であるとは、任意の対象\(X\)と任意の射\(f,g: X \rightarrow A\)に対して、\(m \circ f = m \circ g\)ならば、\(f = g\)が成り立つことである（下図参照）。
集合の圏ならば、モノ射は単射である（モノ射であれば単射となること、単射であればモノ射であることを証明する）。
モノ射の例を下図に挙げる。
この射は、円盤を三角柱の上端に写像したものである。
エピ射の定義：\(e: A \rightarrow B\)がエピ射であるとは、任意の対象\(X\)と任意の射\(f,g: B \rightarrow X\)に対して、\(f \circ e = g \circ e\)ならば、\(f = g\)が成り立つことである（下図参照）。
集合の圏ならば、エピ射は全射である
エピ射の例を下図に挙げる。
この射は、三角柱の年輪を円盤に写像したものである。
４．イコライザとコイコライザ
モノ射、エピ射を応用したものに、コイコライザ、イコライザがあるが、これについては、前の記事できしたがここでは簡単にまとめておく。
イコライザの定義：\(f,g: A \rightarrow\ B\)のイコライザとは、対象\(E\)と、\(f \circ e\)と\(g \circ e\)が成り立つ\(e:E \rightarrow\ A\)からなり、任意の\(f \circ x = g \circ x\)が成り立つ\(x: X \rightarrow\ A\)に対して、\(x = e \circ u\)を満たす\(u: X \rightarrow E\)が唯一つ存在するものである。\(e\)のことを単にイコライザともいう。
上記の定義の可換図式は次の通りである。
イコライザの圏は次のようになっている。
(1) 対象：\(A\),\(B\),\(E\),\(X\)
(2) 射：\(f,g: A \rightarrow\ B\),\(e:E \rightarrow\ A\),\(u: X \rightarrow E\)
コイコライザの定義：\(f,g: A \rightarrow\ B\)のコイコライザとは、対象\(Q\)と、\(q \circ f\)と\(q \circ g\)が成り立つ\(q: B \rightarrow\ Q\)からなり、任意の\(y \circ f = y \circ g\)が成り立つ\(y: B \rightarrow\ Y\)に対して、\(y = u' \circ q\)を満たす\(u': Q \rightarrow X\)が唯一つ存在するものである。\(q\)のことを単にコイコライザともいう。
上記の定義の可換図式は次の通りである。
コライザの圏は次のようになっている。
(1) 対象：\(A\),\(B\),\(Q\),\(X\)
(2) 射：\(f,g: A \rightarrow\ B\),\(q: B \rightarrow\ Q\),\(u': Q \rightarrow X\)
５．写像の集合
集合\(A\)から\(B\)への写像の集まりがいくつあるかを考える。
今、\(A\), \(B\)のそれぞれの要素数を\(m\), \(n\)とする。
最初に\(A\)の数を制限したときの写像の数を求める。
\(m=0\)のとき、下図に示すように、写像の数は、空写像の１個である。
この時の圏は次のようになる。
(1)対象：\(A=\{a_1 \}\), \(B=\{ b_1, b_2,.., b_n \}\)
(2)射：空集合\(f:A \rightarrow B\)
\(m=1\)のとき、下図に示すように、写像の数は、\(f_i:A \rightarrow B\) (ここで、\(i=1..n\)である)の\(n\)個である。集合\(A\)から集合\(B\)への写像の集合を\({\rm Hom}(A,B)\)とすると、\({\rm Hom}(A,B)\)と\(B\)は同型である。
(1)対象：\(A=\{a_1 \}\), \(B=\{ b_1, b_2,.., b_n \}\)
(2)射：\(f_i:A=\{ a_1\} \rightarrow B=\{b_1,.., b_i,.., b_n \}\)
以下にHaskellでの例を示す。
data SetA = A1 deriving (Show, Eq) data SetB = B1 | B2 | B3 | B4 deriving (Show, Eq) f1 x | x == A1 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f2 x | x == A1 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f3 x | x == A1 = B3 | otherwise = error "not an element of setA." f4 x | x == A1 = B4 | otherwise = error "not an element of setA."
\(m=2\)のとき、下図に示すように、写像の数は、\(f_{i,j}\) (ここで、\(i,j=1..n_B\))の\( n^ 2\)個である。これは、\({\rm Hom}(A,B)\)と\(B \times B\)は同型と見なすことができる。
(1)対象：\(A=\{ a_1,a_2 \}\), \(B=\{ b_1, b_2,.., b_n \}\)
(2)射：\(f_{i,j}:A =\{ a_1,a_2\} \rightarrow B =\{ b_1,..,b_i, b_j,.., b_n \}\)
以下にHaskellでの例を示す。
data SetA = A1 deriving (Show, Eq) data SetB = B1 | B2 | B3 | B4 deriving (Show, Eq) data SetA = A1 | A2 deriving (Show, Eq) data SetB = B1 | B2 | B3 | B4 deriving (Show, Eq) f1 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f2 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f3 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B3 | otherwise = error "not an element of setA." f4 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B4 | otherwise = error "not an element of setA." f5 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f6 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f7 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B3 | otherwise = error "not an element of setA." f8 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B4 | otherwise = error "not an element of setA." f9 x | x == A1 = B3 | x == A2 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f10 x | x == A1 = B3 | x == A2 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f11 x | x == A1 = B3 | x == A2 = B3 | otherwise = error "not an element of setA." f12 x | x == A1 = B3 | x == A2 = B4 | otherwise = error "not an element of setA." f13 x | x == A1 = B4 | x == A2 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f14 x | x == A1 = B4 | x == A2 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f15 x | x == A1 = B4 | x == A2 = B3 | otherwise = error "not an element of setA." f16 x | x == A1 = B4 | x == A2 = B4 | otherwise = error "not an element of setA."
\(m=3\)のとき、下図に示すように、写像の数は、\(f_{i,j,k}\) (ここで、\(i,j,k=1..n\)）の\( n^ 3\)個である。これは、\({\rm Hom}(A,B)\)と\(B \times B \times B\)は同型と見なすことができる。
(1)対象：\(A=\{a_1,a_2,a_3\}\), \(B=\{ b_1, b_2,.., b_n \}\)
(2)射：\(f_{i,j,k}:A =\{ a_1,a_2,a_3\} \rightarrow B=\{b_1,.., b_i, b_j,b_k,.., b_n \}\)
次は\(B\)の数を制限したときの写像の数を求める。
\(n=0\)のとき、写像の数は0個である。
(1)対象：\(A=\{a_1, a_2,.., a_m\}\), \(B=\{ \}\)
(2)射：なし
\(n=1\)のとき、下図に示すように、写像の数は、\(f\) の\(1\)個である。
(1)対象：\(A=\{a_1, a_2,.., a_m\}\), \(B=\{ b_1 \}\)
(2)射：\(f:A =\{a_1, a_2,.., a_m\} \rightarrow B=\{b_1 \}\)
以下にHaskellでの例を示す。
data SetA = A1 | A2 | A3 | A4 deriving (Show, Eq) data SetB = B1 deriving (Show, Eq) f x | x == A1 = B1 | x == A2 = B1 | x == A3 = B1 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA."
\(n=2\)のとき、下図に示すように、写像の数は\(B\)の部分集合の総数である。
(1)対象：\(A=\{a_1, a_2,.., a_m\}\), \(B=\{ b_1,b_2 \}\)
(2)射：\(f_{A' \in \mathcal{P}(A)}:A =\{A',A-A'\} \rightarrow B=\{b_1,b_2 \}\)
上記で\(\mathcal{P}(A)\)は\(A\)の冪集合（部分集合の集まり）である。
以下にHaskellでの例を示す。
data SetA = A1 | A2 | A3 | A4 deriving (Show, Eq) data SetB = B1 | B2 deriving (Show, Eq) f1 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B1 | x == A3 = B1 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f2 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B1 | x == A3 = B1 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f3 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B2 | x == A3 = B1 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f4 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B1 | x == A3 = B2 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f5 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B1 | x == A3 = B1 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f6 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B2 | x == A3 = B1 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f7 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B1 | x == A3 = B2 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f8 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B1 | x == A3 = B1 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f9 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B2 | x == A3 = B2 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f10 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B2 | x == A3 = B1 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f11 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B1 | x == A3 = B2 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f12 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B2 | x == A3 = B2 | x == A4 = B1 | otherwise = error "not an element of setA." f13 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B2 | x == A3 = B1 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f14 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B1 | x == A3 = B2 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f15 x | x == A1 = B1 | x == A2 = B2 | x == A3 = B2 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA." f16 x | x == A1 = B2 | x == A2 = B2 | x == A3 = B2 | x == A4 = B2 | otherwise = error "not an element of setA."
以上を一般化すると、集合\(A\)から集合\(B\)写像の数は、それぞれの要素数を\(m,n\)とした時、\( n ^ m\)個となる。また、\({\rm Hom}(A,B)\)と\(m\)次元の\(B \times B \times,..., \times B\)は同型と見なすことができる。
６．カリー化
集合の積\(X \times A\)から集合\(B\)への可能な写像を図で示すと下図のようになる。
この時、\(X\), \(A\), \(B\)の要素数を\(p\), \(m\), \(n\)とすると、写像の総数は\(n^{pm}\)である。
いま、集合\(A\)から\(B\)への写像の集まりを\(B^A\)で表す（即ち、\({\rm Hom}(A,B)=B^A\)とする）。
集合の積\(X \times A\)から集合\(B\)への写像をカリー化して、集合\(X\)から写像の集まり\(B^A\)への写像を図で表すと下図のようになる。
この時\(g_i:X \rightarrow B^A\)の写像の数は\(n^{pm}\)となる。
二つの写像\({\rm Hom}(X \times A ,B)\)と\({\rm Hom}(X,B^A)\)とは同型であることが分かる。これを利用すると、下図の可換図式を得る（なお図で\(e\)は評価関数と呼べれる）。
Haskellでの例を挙げる。
data SetX = X1 | X2 deriving (Show, Eq) data SetA = A1 | A2 deriving (Show, Eq) data SetB = B1 | B2 deriving (Show, Eq) f1 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f2 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f3 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f4 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f5 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f6 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f7 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f8 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f9 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f10 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f11 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f12 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B1 | otherwise = error "not elements." f13 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B1 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f14 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B1 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f15 x a | x == X1 && a == A1 = B1 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." f16 x a | x == X1 && a == A1 = B2 | x == X1 && a == A2 = B2 | x == X2 && a == A1 = B2 | x == X2 && a == A2 = B2 | otherwise = error "not elements." g1 x | x == X1 = \a -> f1 X1 a | x == X2 = \a -> f1 X2 a | otherwise = error "not an element." g2 x | x == X1 = \a -> f2 X1 a | x == X2 = \a -> f2 X2 a | otherwise = error "not an element." g3 x | x == X1 = \a -> f3 X1 a | x == X2 = \a -> f3 X2 a | otherwise = error "not an element." g4 x | x == X1 = \a -> f4 X1 a | x == X2 = \a -> f4 X2 a | otherwise = error "not an element." g5 x | x == X1 = \a -> f5 X1 a | x == X2 = \a -> f5 X2 a | otherwise = error "not an element." g6 x | x == X1 = \a -> f6 X1 a | x == X2 = \a -> f6 X2 a | otherwise = error "not an element." g7 x | x == X1 = \a -> f7 X1 a | x == X2 = \a -> f7 X2 a | otherwise = error "not an element." g8 x | x == X1 = \a -> f8 X1 a | x == X2 = \a -> f8 X2 a | otherwise = error "not an element." g9 x | x == X1 = \a -> f9 X1 a | x == X2 = \a -> f9 X2 a | otherwise = error "not an element." g10 x | x == X1 = \a -> f10 X1 a | x == X2 = \a -> f10 X2 a | otherwise = error "not an element." g11 x | x == X1 = \a -> f11 X1 a | x == X2 = \a -> f11 X2 a | otherwise = error "not an element." g12 x | x == X1 = \a -> f12 X1 a | x == X2 = \a -> f12 X2 a | otherwise = error "not an element." g13 x | x == X1 = \a -> f13 X1 a | x == X2 = \a -> f13 X2 a | otherwise = error "not an element." g14 x | x == X1 = \a -> f14 X1 a | x == X2 = \a -> f14 X2 a | otherwise = error "not an element." g15 x | x == X1 = \a -> f15 X1 a | x == X2 = \a -> f15 X2 a | otherwise = error "not an element." g16 x | x == X1 = \a -> f16 X1 a | x == X2 = \a -> f16 X2 a | otherwise = error "not an element."
実行結果を示す。
*Morphism> (g1 X1) A1 B1 *Morphism> (g1 X1) A2 B1 *Morphism> (g1 X2) A1 B1 *Morphism> (g1 X2) A2 B1 *Morphism> (g2 X1) A1 B2 *Morphism> (g2 X1) A2 B1 *Morphism> (g2 X2) A1 B1 *Morphism> (g2 X2) A2 B1
\( {\rm Hom} (X \times A \times B,C)\)をカリー化するときに、二つの方法がある。
一つは、\(A \times B\)を一つの集合と考え、\({\rm Hom} (X, C ^ {A \times B})\)とする。
もう一つは、\(X \times A\)を一つの集合と考え、\({\rm Hom} (X \times A , C ^ B)\)とする。その後、さらにカーリー化すると、\({\rm Hom} (X , (C ^ B)^A)\)となる。
\({\rm Hom} (X, C ^ {A \times B})\)と\({\rm Hom} (X , (C ^ B)^A)\)は同型なので、\(C ^ {A \times B}=(C ^ B)^A\)となる。
