量子力学の特徴の一つは、状態の重ね合わせである。これは、量子状態の時はいくつかの状態を複数個同時に取るが、観察すると、ある一つの状態しか得られないという摩訶不思議な現象である。また、同じ条件で観察したとしても、観察するたびに取る状態が異なる。そこで、観察される度合いを、それぞれの状態の係数で表すこととする。数学的には、状態の重ね合わせは、状態の線形結合であらわす。それぞれの状態は、観察される度合いを表した係数を有する。係数には、複素数が用いられる。
状態の重なり合いは、ケットを用いての状態の線形結合でも、ブラを用いての状態の線形結合でも表すことができる。
1粒子状態の重なり合いをケットで表すと次のようになる。
\begin{align*}
& \hat{\Psi}^\dagger | ...00\dot{0}00...> \\
= & \sum_{i=-\infty}^\infty \psi_i \hat{a}_i^\dagger | ...00\dot{0}00...> \\
= & ... + \psi_{-2} |...0010\dot{0}00...> + \psi_{-1} |...001\dot{0}00...> + \psi_0 |...00\dot{1}00...> \\
& + \psi_1 |...00\dot{0}100...> + \psi_2 |...00\dot{0}0100...> + ...
\end{align*}
これをブラで表すと次のようになる。
\begin{align*}
& <...00\dot{0}00...|\hat{\Psi} \\
= & <...000\dot{0}00...| \sum_{i=-\infty}^\infty \hat{a}_i \psi_i^* \\
= & ...<...0010\dot{0}00...| \psi_{-2}^* + <...001\dot{0}00...|_{-1} \psi_{-1}^* + <...000\dot{1}00...| \psi_0^* \\
& + <...00\dot{0}100...|\psi_1^* + <...000\dot{0}0100...| \psi_2^* + ...
\end{align*}
ただし、同じ状態を表しているケットでの係数\(\psi_i\)とブラの係数\(\psi_i^*\)はお互いに共役な複素数となっている。
これらの線形結合は次のことを意味する。全体で、\( \sum_{i=-\infty}^\infty \psi_i^*\psi_i \)回の実験を行った。この時、状態\(i\)が観察された回数は\( \psi_i^*\psi_i \)である。もし、\( \sum_{i=-\infty}^\infty \psi_i^*\psi_i =1\)ならば、この線形結合は規格化されているという。
以上が重ね合わせの概略であるが、以下で、プログラムを動かして、そのニュアンスをつかむことにしよう。
１．ケットでの重ね合わせ
Teat1のプログラムをロードしてみよう。次のようになると思う。
GHCi, version 7.8.3: http://www.haskell.org/ghc/ :? for help Loading package ghc-prim ... linking ... done. Loading package integer-gmp ... linking ... done. Loading package base ... linking ... done. Prelude> :cd C:\Users\XXXXXX Prelude> :load "test1.hs" [1 of 7] Compiling Qtm.KetBra.Ket ( Qtm\KetBra\Ket.hs, interpreted ) [2 of 7] Compiling Qtm.KetBra.Bra ( Qtm\KetBra\Bra.hs, interpreted ) [3 of 7] Compiling Qtm.Entangle.BraEntangle ( Qtm\Entangle\BraEntangle.hs, interpreted ) [4 of 7] Compiling Qtm.Entangle.KetEntangle ( Qtm\Entangle\KetEntangle.hs, interpreted ) [5 of 7] Compiling Qtm.Entangle ( Qtm\Entangle.hs, interpreted ) [6 of 7] Compiling Qtm.KetBra ( Qtm\KetBra.hs, interpreted ) [7 of 7] Compiling Test1 ( test1.hs, interpreted ) Ok, modules loaded: Qtm.KetBra, Qtm.Entangle, Qtm.Entangle.KetEntangle, Qtm.Entangle.BraEntangle, Qtm.KetBra.Bra, Qtm.KetBra.Ket, Test1. *Test1>
まずケットについてだが、test1では次の状態を用意している。
\begin{align*}
a =& \\
b =& (5.3 + 4.2i)|...00\dot{0}100...> \\
c =& (3.3 + 3.2i)|...00\dot{0}00100...> + (5.3 + 4.2i)|...00\dot{0}100...>\\
d =& (1.3 + 1.2i)|...00\dot{0}0100...> + (3.3 + 3.2i)|...00\dot{0}00100...> + (5.3 + 4.2i)|...00\dot{0}100...>\\
g =& (3.3 - 3.2i)|...00\dot{0}100...> + (3.1 - 0.2i)|...00\dot{0}000100...> + (2.3 - 1.2i)|...001\dot{0}00...> \\
& + (4.3 + 3.3i)|...00\dot{0}0100...> + (3.3 + 0.2i)|...00\dot{0}00100...>\\
h =& (2.3 - 0.2i)|...00\dot{0}00100...> + (3.4 - 2.2i)|...0010\dot{0}00...> + (5.3 - 1.5i)|...001\dot{0}00...> \\
& + (1.3 + 0.3i)|...00\dot{0}100...> + (3.2 + 2.2i)|...00\dot{0}0100...>\\
\end{align*}
その他に、\(p\)と\(q\)は\(g\)と\(h\)を状態を右から左へ昇順に並べたもの、\(r\)は\(g\)と\(h\)をさらに重ね合わせたもの、\(t\)は\(r\)を正規化したものである。
それでは、\(a,b,c,d,g,h\)それぞれのHaskellでの内部表現を見てみよう。
*Test1> a *Test1> b 5.3 :+ 4.2_a1^ *Test1> c 3.3 :+ 3.2_a3^ + 5.3 :+ 4.2_a1^ *Test1> d 1.3 :+ 1.2_a2^ + 3.3 :+ 3.2_a3^ + 5.3 :+ 4.2_a1^ *Test1> g 3.3 :+ (-3.2)_a1^ + 3.1 :+ (-0.2)_a4^ + 2.3 :+ (-1.2)_a-1^ + 4.3 :+ 3.3_a2^ + 3.3 :+ 0.2_a3^ *Test1> h 2.3 :+ (-0.2)_a3^ + 3.4 :+ (-2.2)_a-2^ + 5.3 :+ (-1.5)_a-1^ + 1.3 :+ 0.3_a1^ + 3.2 :+ 2.2_a2^
上手くいっているようである。でも、分かりにくいので、プリティー・プリントで見てみよう。
*Test1> prEntangle a "" *Test1> prEntangle b "(5.3 :+ 4.2)|...0000(0)1000....>" *Test1> prEntangle c "(3.3 :+ 3.2)|...000000(0)001000....> + (5.3 :+ 4.2)|...0000(0)1000....>" *Test1> prEntangle d "(1.3 :+ 1.2)|...00000(0)01000...> + (3.3 :+ 3.2)|...000000(0)001000...> + (5.3 :+ 4.2)|...0000(0)1000...>" *Test1> prEntangle g "(3.3 :+ (-3.2))|...0000(0)1000...> + (3.1 :+ (-0.2))|...0000000(0)0001000...> + (2.3 :+ (-1.2))|...0001(0)000...> + (4.3 :+ 3.3)|...00000(0)01000...> + (3.3 :+ 0.2)|...000000(0)001000...>" *Test1> prEntangle h "(2.3 :+ (-0.2))|...000000(0)001000...> + (3.4 :+ (-2.2))|...00010(0)0000...> + (5.3 :+ (-1.5))|...0001(0)000...> + (1.3 :+ 0.3)|...0000(0)1000...> + (3.2 :+ 2.2)|...00000(0)01000...>"
\(g,h\)を状態でソートした\(p,q\)を見てみよう。
*Test1> prEntangle p "(2.3 :+ (-1.2))|...0001(0)000...> + (3.3 :+ (-3.2))|...0000(0)1000...> + (4.3 :+ 3.3)|...00000(0)01000...> + (3.3 :+ 0.2)|...000000(0)001000...> + (3.1 :+ (-0.2))|...0000000(0)0001000...>" *Test1> prEntangle q "(3.4 :+ (-2.2))|...00010(0)0000...> + (5.3 :+ (-1.5))|...0001(0)000...> + (1.3 :+ 0.3)|...0000(0)1000...> + (3.2 :+ 2.2)|...00000(0)01000...> + (2.3 :+ (-0.2))|...000000(0)001000...>"
\(g,h\)を重ね合わせた\(r\)を見てみよう。
*Test1> prEntangle r "(3.4 :+ (-2.2))|...00010(0)0000...> + (7.6 :+ (-2.7))|...0001(0)000...> + (4.6 :+ (-2.9000000000000004))|...0000(0)1000...> + (7.5 :+ 5.5)|...00000(0)01000...> + (5.6 :+ 0.0)|...000000(0)001000...> + (3.1 :+ (-0.2))|...0000000(0)0001000...>"
これを正規化した\(t\)を見てみよう。
*Test1> prEntangle t "(0.22014428368391428 :+ (-0.14244630120723867))|...00010(0)0000...> + (0.492087222352279 :+ (-0.17482046057252018))|...0001(0)000...> + (0.2978422661605899 :+ (-0.1877701243186328))|...0000(0)1000...> + (0.4856123904792227 :+ 0.35611575301809667)|...00000(0)01000...> + (0.3625905848911529 :+ 0.0)|...000000(0)001000...> + (0.20071978806474539 :+ (-1.2949663746112606e-2))|...0000000(0)0001000...>"
２．ブラでの重ね合わせ
ブラについてだが、test1では次の状態を用意している。
\begin{align*}
a' =& \\
b' =& <...00\dot{0}100...|(5.3 - 4.2i) \\
c' =& <...00\dot{0}100...|(5.3 - 4.2i) + <...00\dot{0}00100...|(3.3 - 3.2i)\\
d' =& <...00\dot{0}100...|(5.3 - 4.2i) + <...00\dot{0}00100...|(3.3 - 3.2i) + <...00\dot{0}0100...|(1.3 - 1.2i)\\
g' =& <...00\dot{0}100...|(3.3 + 3.2i) + <...00\dot{0}000100...|(3.1 + 0.2i) + <...001\dot{0}00...|(2.3 + 1.2i) \\
& + <...00\dot{0}0100...>(4.3 - 3.3i) + <...00\dot{0}00100...>(3.3 - 0.2i)\\
h' =& <...00\dot{0}00100...|(2.3 + 0.2i) + <...0010\dot{0}00...|(3.4 + 2.2i) + <...001\dot{0}00...|(5.3 + 1.5i) \\
& + <...00\dot{0}100...|(1.3 - 0.3i) + <...00\dot{0}0100...|(3.2 - 2.2i)\\
\end{align*}
その他に、\(p'\)と\(q'\)は\(g'\)と\(h'\)を状態を右から左へ昇順に並べたもの、\(r'\)は\(g'\)と\(h'\)をさらに重ね合わせたもの、\(t'\)は\(r'\)を正規化したものである。
それでは、\(a',b',c',d',g',h'\)それぞれのHaskellでの内部表現を見てみよう。
*Test1> a' *Test1> b' a1_5.3 :+ (-4.2) *Test1> c' a1_5.3 :+ (-4.2) + a3_3.3 :+ (-3.2) *Test1> d' a1_5.3 :+ (-4.2) + a3_3.3 :+ (-3.2) + a2_3.3 :+ (-3.2) *Test1> g' a1_3.3 :+ 3.2 + a4_3.1 :+ 0.2 + a-1_2.3 :+ 1.2 + a2_4.3 :+ (-3.3) + a3_3.3 :+ (-0.2) *Test1> h' a3_2.3 :+ 0.2 + a-2_3.4 :+ 2.2 + a-1_5.3 :+ 1.5 + a1_1.3 :+ (-0.3) + a2_3.2 :+ (-2.2)
上手くいっているようである。でも、分かりにくいので、プリティー・プリントで見てみよう。
*Test1> prCoEntangle a' "" *Test1> prCoEntangle b' "<...0000(0)1000...|5.3 :+ (-4.2)" *Test1> prCoEntangle c' "<...0000(0)1000...|5.3 :+ (-4.2) + <...000000(0)001000...|3.3 :+ (-3.2)" *Test1> prCoEntangle d' "<...0000(0)1000...|5.3 :+ (-4.2) + <...000000(0)001000...|3.3 :+ (-3.2) + <...00000(0)01000...|3.3 :+ (-3.2)" *Test1> prCoEntangle g' "<...0000(0)1000...|3.3 :+ 3.2 + <...0000000(0)0001000...|3.1 :+ 0.2 + <...0001(0)000...|2.3 :+ 1.2 + <...00000(0)01000...|4.3 :+ (-3.3) + <...000000(0)001000...|3.3 :+ (-0.2)" *Test1> prCoEntangle h' "<...000000(0)001000...|2.3 :+ 0.2 + <...00010(0)0000...|3.4 :+ 2.2 + <...0001(0)000...|5.3 :+ 1.5 + <...0000(0)1000...|1.3 :+ (-0.3) + <...00000(0)01000...|3.2 :+ (-2.2)"
\(g',h'\)を状態でソートした\(p',q'\)を見てみよう。
*Test1> prCoEntangle p' "<...0000000(0)0001000...|3.1 :+ 0.2 + <...000000(0)001000...|3.3 :+ (-0.2) + <...00000(0)01000...|4.3 :+ (-3.3) + <...0000(0)1000...|3.3 :+ 3.2 + <...0001(0)000...|2.3 :+ 1.2" *Test1> prCoEntangle q' "<...000000(0)001000...|2.3 :+ 0.2 + <...00000(0)01000...|3.2 :+ (-2.2) + <...0000(0)1000...|1.3 :+ (-0.3) + <...0001(0)000...|5.3 :+ 1.5 + <...00010(0)0000...|3.4 :+ 2.2"
\(g',h'\)を重ね合わせた\(r'\)を見てみよう。
*Test1> prCoEntangle r' "<...0000000(0)0001000...|3.1 :+ 0.2 + <...000000(0)001000...|5.6 :+ 0.0 + <...00000(0)01000...|7.5 :+ (-5.5) + <...0000(0)1000...|4.6 :+ 2.9000000000000004 + <...0001(0)000...|7.6 :+ 2.7 + <...00010(0)0000...|3.4 :+ 2.2"
これを正規化した\(t'\)を見てみよう。
*Test1> prCoEntangle t' "<...0000000(0)0001000...|0.20071978806474539 :+ 1.2949663746112606e-2 + <...000000(0)001000...|0.3625905848911529 :+ 0.0 + <...00000(0)01000...|0.4856123904792227 :+ (-0.35611575301809667) + <...0000(0)1000...|0.2978422661605899 :+ 0.1877701243186328 + <...0001(0)000...|0.492087222352279 :+ 0.17482046057252018 + <...00010(0)0000...|0.22014428368391428 :+ 0.14244630120723867"
