関手ー一般化 - bitterharvest’s diary

６．３　一般化

\(Maybe\)を利用して関手を説明したが、その他にもいろいろな関手を考えることができる。それらは(\(Maybe\)で説明した)\(fmap\)の実装が異なるだけだ。Javaを知っている人であればインターフェースを用いて実装したらと考えるだろう。Haskellにもオブジェクト指向と同じ概念のものが用意されている。Haskellでは、関手はクラスで一般化し、個々の実体はそのインスタンスで表現できる。

それでは実際に示してみよう。次のようになる。

Class Functor f where
  fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)

上記のプログラムで、\(f\)が関手である。Haskellでは型コンストラクタとなる。
なお、GHCでの定義を見ると次のようになっている。

Prelude> :i Functor
class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

\(f \ a\)と\(f \ b\)がカッコでくくられていないが、これをカーリー化すると\( (f \ a \rightarrow f \ b)\)になるので、表現は異なるが内容は同じである。

これを用いると、\(Maybe\)はクラスをインスタンス化し、次のように実装できる。

data Maybe a = Nothing | Just a deriving (Eq, Show, Read)
instance Functor Maybe where
  fmap _ Nothing = Nothing
  fmap f x = Just (f x)

これまで、\(fmap \ f \ Nothing = Nothing\)と書いてきたが、どのような\(f\)が来たとしても\(Nothing\)を出力するので、ここでは\(f\)の代わりに\(\_\)を用いた。
プログラムを実行してみよう(実装されている\(Maybe\)とぶつかるようであれば、\(Maybe’, Just’, Nothing’\)のように’をつけて実装し、実行して欲しい)。

*Main> fmap (+3) (Just 5)
Just 8
*Main> fmap (+3) Nothing
Nothing

それではリストはどうであろうか。\(Maybe\)を参考にしながら実装しよう。

data List a = Nil | Cons a (List a) deriving (Eq, Show, Read)
instance Functor List where
  fmap _ Nil = Nil
  fmap f (Cons h t) = Cons (f h) (fmap f t)

上のプログラムで、\(Cons \ h \ t\)と書いたが、\(h\)はリストの最初の要素、\(t\)はこれを取り除いたリストである。

プログラムを実行してみよう。

*Main> fmap (+3) (Cons 3 (Cons 4 (Cons 5 Nil)))
Cons 6 (Cons 7 (Cons 8 Nil))

Haskellが用意している\(Functor\)のインスタンスを調べてみよう(厳密にはGHCが用意しているインスタンス)。

Prelude> :i Functor
class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
  (<$) :: a -> f b -> f a
  {-# MINIMAL fmap #-}
  	-- Defined in ・eGHC.Base’
instance Functor (Either a) -- Defined in ‘Data.Either’
instance Functor [] -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor Maybe -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor IO -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor ((->) r) -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor ((,) a) -- Defined in ‘GHC.Base’

上記に示すような結果を得たことと思う。
ところで下から2行目に見慣れないものがある。\(((\rightarrow) \ r)\)なのだが、これはリーダーと呼ばれる。それではこのリーダーについて説明しよう。

Haskellでは、関数は\(a \rightarrow b\)と記述される。\(a\)が入力で\(b\)が出力である。ところで、\( \rightarrow \)を\(+\)や\(\times\)などと同じように中置関数と考えると、これを前置関数に変えることで\( (\rightarrow) \ a \ b \)と表すことができる。

そこで、\( (\rightarrow) \ a \ b \)は、\(a\)を\(b\)に変換してくれる型コンストラクタと解釈することが可能となる。従って、

type Reader a = (->) a

と表すことが可能となる。
あるいは、両辺から\(a\)を取り除いて

type Reader = (->)

と表しても構わない。これで、\( (\rightarrow) \)は型コンストラクタとなった。ここでは、それを\(Reader\)というシノニムで置き換えている。

ところで、次の図を考えよう。
f:id:bitterharvest:20170823042237p:plain
図で左側から右側への関手は\(Reader \ r\)である。左側にある関数\(f\)でそのドメインは\(a\)でありコドメインは\(b\)である。今、これら\(a,b\)を、右側に示すように、\(r\)をドメインにし、そのコドメインに持ち上げてしまおう。\(a\)を\(g:r \rightarrow a\)に写像する関数は、\(Reader \ r \ a\)と表すことができる。

それでは、\(b\)を\(r \rightarrow b\)に移す関数はどうなるであろうか。\(b\)を関手\(Reader \ r\)を用いて、\(r \rightarrow b\)に写像する。そして、\(r \rightarrow b\)は射である。関手を射に写像するときは\(fmap\)を用いていた。そこで、\(fmap \ f \ g = fmap \ f \ (Reader \ r \ a) \)と考えられる。

これでよさそうなのだが、何となくすっきりとしない。そこで、Haskellでの可換図式ではなく、圏論での可換図式で表してみることにしよう。
f:id:bitterharvest:20170823044014p:plain
上記の可換図式で、\({\rm Hom}(R,A)\)は、対象\(R\)から\(A\)への射の集合である。

次に、\(R\)から\(B\)への写像を考えてみよう。これは、\(\mathcal {D}\)のところの可換図式を用いればよい。(上側の)\(R\)から\(A\)を経由して\(B\)にいたる射の集合を求めると\({\rm Hom}(R,A) \times {\rm Hom}(A,B)\)となる。同じように、(上側の)\(R\)から(下側の)\(R\)を経由して\(B\)にいたる射の集合を求めると\({\rm Hom}(R,R) \times {\rm Hom}(R,B)={\rm Hom}(R,B)\)となる。これが先に求めたものと等しいので、\({\rm Hom}(R,B)={\rm Hom}(R,A) \times {\rm Hom}(A,B)\)となる。

従って、\(fmap \ f \ (Reader \ r \ a) \)でよいことが判明した。

そこで、\(fmap\)のリーダーに対する実装は次のようになる。

type Reader = (->)
instance Functor (Reader r) where
  fmap :: (a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)
  fmap f g = f . g

ここで、f.g は(.) f gと表すことができ左右の辺からf,gを消去すると最終的には次のようになる。

type Reader = (->)
instance Functor (Reader r) where
  fmap :: (a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)
  fmap= ( . )

上記のプログラムをロードすると\(Use \ TypeSynonymInstances\)とエラーが出る。そこで、これを用いて再度ロードするとファンクタが二重定義であるというエラーが出る。これは、Haskellが\( (\rightarrow)\)のファンクタを用意しているためである。従って、Haskellがあらかじめ用意しているものをここでは用いる。Haskellではどのようになっているかをまず、見てみよう。データ型の定義は次のようになっている。
\begin{lstlisting}[language=sh, basicstyle=\ttfamily\footnotesize, frame=single, breaklines=true]
Prelude> :i (->)
data (->) t1 t2 -- Defined in ‘GHC.Prim’
\end{lstlisting}
しかし、GHC.Primを参照してもこのデータ型の定義は見当たらない。ファイクコードだそうだ。これは表示のためだけに使われているそうである。
しかし、ファンクタの方はちゃんと定義されている。\(Data.Functor\)を見ると次のようになっている。

instance Functor ((->) r) where
    fmap = (.)

システムが用意しているものを実際に使うとこんな感じになる。あまり面白くはない。

Prelude> ((+3) . (*4)) 5
23
Prelude> ((+3) . (+4)) 6
13

次回は、圏から圏を作ることを説明する。

６．３ 一般化

６．３　一般化