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bitterharvest’s diary

A Bitter Harvestは小説の題名。作者は豪州のPeter Yeldham。苦闘の末に勝ちえた偏見からの解放は命との引換になったという悲しい物語

Haskellの真髄に迫る - 一般化代数的データ(5)

1.米田の補題

圏論の重要な概念のひとつに米田の補題がある。これは次で表される。

\({\mathcal C}\)を圏とした時、任意の\({\mathcal C}\)の対象\(A\)と関手\(F: {\mathcal C} \rightarrow {\bf Sets}\)に対して
\({\rm Nat}({\rm Hom}(A,-),F) \cong F(A)\)
である。さらに、この同型\(\cong\)は、\(F\)と\(A\)に対して自然である。

2.自然変換

\({\rm Hom}(A,-)\)が関手であることが、前の説明で分かったので、次は、\({\rm Nat}\)と記された自然変換について説明する。米田の補題では、自然変換は\({\rm Nat}({\rm Hom}(A,-),F)\)であらわれ、二つの関手\({\rm Nat}\)と\(F\)は自然変換といっている。

一般に、二つの関手\(F,G:{\mathcal C} \rightarrow {\mathcal D}\)の間の自然変換\(\vartheta : F \rightarrow G\)とは次のことを言う。
\(\vartheta\)は\(D\)の射\(\vartheta_X : F(X) \rightarrow G(X)\)の集合であり、任意の\({\mathcal C}\)の射\(f: A \rightarrow B\)に対して、下図が可換であるものをいう。ここで、\(\vartheta_X\)は\(\vartheta\)の\(X\)成分という。
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米田の補題の自然変換の部分を表すと下図の可換図が得られる。
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3.自然同型

米田の補題に\(\cong \)の記号が現れるが、これは自然同型と呼ばれる。

一般に、自然変換\(\vartheta : F \rightarrow G\)が自然同型であるとは、\(\vartheta \)のすべての成分が同型射であることをいう。即ち、\(\vartheta_X : F(X) \rightarrow G(X)\)とした時、\(\vartheta_X^{-1} \circ \vartheta_X = 1_{F(X)} \)かつ\(\vartheta_X \circ \vartheta_X^{-1} = 1_{G(X)} \)である。

4.自然

米田の補題には、最後に\(F\)と\(A\)に対して自然という記述がある。これは次のことを意味する。
\(F\)に対して自然とは任意の自然変換\(\vartheta : F \rightarrow G\)に対して、下図が可換となることである。
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\(A\)に対して自然とは\({\mathcal C}\)の任意の射\(\vartheta : F \rightarrow G\)に対して、下図が可換となることである。
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