１．米田の補題
圏論の重要な概念のひとつに米田の補題がある。これは次で表される。
\({\mathcal C}\)を圏とした時、任意の\({\mathcal C}\)の対象\(A\)と関手\(F: {\mathcal C} \rightarrow {\bf Sets}\)に対して
\({\rm Nat}({\rm Hom}(A,-),F) \cong F(A)\)
である。さらに、この同型\(\cong\)は、\(F\)と\(A\)に対して自然である。
２．自然変換
\({\rm Hom}(A,-)\)が関手であることが、前の説明で分かったので、次は、\({\rm Nat}\)と記された自然変換について説明する。米田の補題では、自然変換は\({\rm Nat}({\rm Hom}(A,-),F)\)であらわれ、二つの関手\({\rm Nat}\)と\(F\)は自然変換といっている。
一般に、二つの関手\(F,G:{\mathcal C} \rightarrow {\mathcal D}\)の間の自然変換\(\vartheta : F \rightarrow G\)とは次のことを言う。
\(\vartheta\)は\(D\)の射\(\vartheta_X : F(X) \rightarrow G(X)\)の集合であり、任意の\({\mathcal C}\)の射\(f: A \rightarrow B\)に対して、下図が可換であるものをいう。ここで、\(\vartheta_X\)は\(\vartheta\)の\(X\)成分という。
米田の補題の自然変換の部分を表すと下図の可換図式が得られる。
３．自然同型
米田の補題に\(\cong \)の記号が現れるが、これは自然同型と呼ばれる。
一般に、自然変換\(\vartheta : F \rightarrow G\)が自然同型であるとは、\(\vartheta \)のすべての成分が同型射であることをいう。即ち、\(\vartheta_X : F(X) \rightarrow G(X)\)とした時、\(\vartheta_X^{-1} \circ \vartheta_X = 1_{F(X)} \)かつ\(\vartheta_X \circ \vartheta_X^{-1} = 1_{G(X)} \)である。
４．自然
米田の補題には、最後に\(F\)と\(A\)に対して自然という記述がある。これは次のことを意味する。
\(F\)に対して自然とは任意の自然変換\(\vartheta : F \rightarrow G\)に対して、下図が可換となることである。
\(A\)に対して自然とは\({\mathcal C}\)の任意の射\(\vartheta : F \rightarrow G\)に対して、下図が可換となることである。
