８．２ 随伴関手を理解するための比喩
比喩(Metaphor)は難しい概念を理解する助けをしてくれる。随伴関手は高度に抽象的な概念なので、理解しやすくするためには、やはり優れた比喩を必要とするだろう。David Spivakがその著書『Category Theory for the Sciences』の中で、随伴関手を次のように説明している。
それでは、下図を用いて説明しよう。
左側の圏はアダルトの語彙の世界で、圏\(\mathcal{A}\)とする。右側はベビーの語彙の世界で、圏\(\mathcal{B}\)とする。また、\(X,Y\)をそれぞれアダルトとベビーの口から出る語彙とする(圏を\(\mathcal{A,B}\)と名付けたのがミソで、左側がアダルトの\(\mathcal{A}\)、右側がベビーの\(\mathcal{B}\)と覚えやすい。ここでは少し気持ちが悪いがそのままアダルトとベビーを使うことにする。アダルトの時は左側の圏を、ベビーの時は右側の圏を意識して欲しい)。ベビーの口から出る語彙\(Y\)は、アダルトが聞いたとき、アダルトの耳に入る語彙\(L(Y)\)になり、アダルトの口から出る語彙\(X\)は、ベビーが聞いたとき、ベビーの耳から入る語彙\(R(X)\)になる。
アダルトの口から出る語彙\(X\)は意味のある言葉だが、ベビーの口から出る語彙\(Y\)は繰り返されるノイズだ。また、アダルトの耳に入る語彙\(L(Y)\)はアダルトの世界なので意味を有しているが、しかし、ベビーの耳に入る語彙\(R(X)\)はベビーの世界なのでただの繰り返されるノイズだ。
\(L(Y)\)から\(X\)への自然変換(これは\({\rm Hom}\)集合となる)が存在することは明らかだろう。即ち、アダルトの耳に入る語彙\(L(Y)\)は、何らかの意味を持つものと解釈され、アダルトの口から出る語彙\(X\)に対応させられる。
\(Y\)から\(R(X)\)への自然変換(これも\({\rm Hom}\)集合となる)が存在することも明らかだろう。即ち、ベビーの口から出る語彙\(Y\)は、ベビーの耳に入る語彙\(R(X)\)に対応付けられる。それは、アダルトがベビーの語彙を容易に真似られることによる。
さて、圏論の世界では、次の二つの条件が満たされるとき、二つの圏\(\mathcal{A,B}\)は同じである、即ち、圏論の言葉を用いれば随伴であるという。
\begin{eqnarray}
ϵ : L \circ R \rightarrow I_\mathcal{A} \\
η : I_\mathcal{B} \rightarrow R \circ L
\end{eqnarray}
上の二つはどのようなことを言っているのであろうか。
\(ϵ : L \circ R \rightarrow I_\mathcal{A} \)は次のことを表している。アダルトの口から出る語彙\(X\)をうけ、ベビーは耳に入る語彙\(R(X)\)を得る。そして、ベビーは口から出る語彙\(R(X)\)に変える。これをアダルトが聞き、耳に入る語彙\(L \circ R(X)\)を得る。そして、アダルトの口から出る語彙\(X\)と耳に入る語彙\(L \circ R(X)\)とが一致するというのが最初の条件である。
\(η : I_\mathcal{B} \rightarrow R \circ L \)は次のことを表している。ベビーの口から出る語彙\(Y\)と耳に入る語彙\(R(X)\)との間に齟齬がないとするならば、ベビーの口から出る語彙\(Y\)に対して、アダルトはこれに反応して口から出る語彙\(L(X)\)をベビーに伝え、そして、ベビーは耳に入る語彙\(R \circ L(Y)\)を受け取ることができるというのが二番目の条件である。
まとめると、最初の条件はアダルトからベビーへのコミュニケーションで、ベビーが正しく反応していればアダルトは大丈夫だと言っている。二番目の条件はベビーからアダルトへのコミュニケーションで、ベビーが大丈夫なときは、アダルトは正しく反応のできると言っている。これが、Spivakの比喩だが納得できただろうか。
なお、アダルトとベビーの世界を入れ替えると、成り立たないことは確認して欲しい。
