随伴関手の応用 － 写像対象としての随伴関手

８．４　写像対象としての随伴関手

写像対象は次のように定義される。

対象射
\begin{eqnarray}
eval : B^A \times A \rightarrow B
\end{eqnarray}
を有する対象\(B^A\)が写像対象であるとは、任意の対象\(X\)と射\(g: X \times Y \rightarrow B\)に対し、射
\begin{eqnarray}
h : X \rightarrow B^A
\end{eqnarray}
で次の図式

を可換にするものが一意的に存在するときを言う。

それでは、これを随伴関手として表したのが下図である。


これは証明を必要とする。一つは、写像対象である時、上記の随伴関手による可換図式が得られることを、もう一つは、上記の随伴関手による可換図式が得られた時、写像対象になっていることを示さなければいけない。これらの証明は、積の時に用いた証明を用いれば容易に行うことができるので、ここでは、省略する。

８．５　余積としての随伴関手

余積は積とは双対関係をなすので、下図に示すように、随伴関手を用いて表すことができる。

証明は読者が行ってください。