圏論：ストリング・ダイアグラム　ー　随伴

２．　随伴

ストリング・ダイアグラムでの表現にも慣れてきたので、いきなりジャンプして、圏論の真髄ともいえる随伴について考えることにしよう。

２．１　随伴の定義

ウィキペディアでは、随伴を次のように定義している(但しここでは記号は変えてある)。

圏\(\mathcal{C}\)と圏\(\mathcal{D}\)との間の随伴とは、二つの関手
\begin{eqnarray}
L: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C} \\
R: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
\end{eqnarray}
の対であって、全単射の族(集合)
\begin{eqnarray}
Φ_{A,B}:{\rm Hom}_\mathcal{C} (LB,A) \cong {\rm Hom}_\mathcal{D} (B,RA)
\end{eqnarray}
が変数\(A\),\(B\)に関して自然となるものをいう。なお\(L\)は\(R\)の左随伴、\(R\)は\(L\)の右随伴という。これは図１のように表すことができる。

別の言い方をすると、任意の射\(f \in {\rm Hom}_\mathcal{C} (LB,A) \)を取りだしたとき、これに対して\(Φ_{A,B}f=g\)となるような\(g \in {\rm Hom}_\mathcal{D} (B,RA)\)が唯一つ存在し、逆もまた真であるといえる。

f:id:bitterharvest:20200512083246p:plain — 図１：随伴の定義

これからは\(f\)や\(g\)のように、射の集合の１要素を扱うことになるので、これをストリング・ダイアグラムでどのように表現できるかあらかじめ議論しておこう。

\(h^A B = {\rm Hom}(A,B) \)が集合(族)であるとする。集合が便利な点は、それが要素を有するということである。そこで射の集合\(h^A B\)からの任意の一つの射を\(fA\)と表すことにしよう。\(f^A\)と表してもよいのだが、ここでは\(fA\)とし、これは\(A\)をドメインとした射\(f\)ということにする。\(f\)のコドメインを\(B\)とすると、\(f \in h^A B\)は図２のストリング・ダイアグラメで表すことができる。丁度、集合の要素を表現したものと同じような感じである。

f:id:bitterharvest:20200512083317p:plain:w100 — 図２：\(\rm Hom\)集合の１要素をストリング・ダイアグラムで表す。

感覚的にあっているというだけでは、数学としての扱いができないので、この表現に矛盾がないかを調べよう。図３に示すように、一つの対象だけを有する圏\(1\)から、圏\(\mathcal{C}\)の対象\(A\)に対して関手を張る。このとき一つではなく、2つの関手\(*,A\)を張ったとし、この関手間の自然変換を\(A\)としよう。

f:id:bitterharvest:20200512083512p:plain:w400 — 図３：\(\rm Hom\)集合の１要素を表すために圏\(1\)を利用する。

これをストリング・ダイアグラムで表すと図４となり、図２の表現には問題がないことが分かる。これで集合の要素としての射を表すことができるようになったので、随伴に関わる性質を考えていこう。

f:id:bitterharvest:20200512083618p:plain:w100 — 図４：圏\(1\)を利用して\(\rm Hom\)集合の１要素をストリング・ダイアグラムで表す。

随伴に関しても、図５に示すように、圏\(1\)から、圏\(\mathcal{C}\)の対象\(A\)への関手\(A\)と、圏\(\mathcal{D}\)の対象\(B\)への関手\(B\)を設けて議論を進めることができる。

f:id:bitterharvest:20200512083720p:plain — 図５：随伴の定義に対しても圏\(1\)を利用する。

任意の射\(f \in h^{LB} A \)を取りだすと、これに対して\(Φ_{A,B}f=g\)となるような\(g \in h^B RA \)が唯一つ存在するという随伴の定義は、図６に示すように、\(B\)から出発して\(A\)に到達する経路は二つあるが、これらは可換であると言い換えることができる。

f:id:bitterharvest:20200512083939p:plain:w300 — 図６：随伴の定義のうち、任意の射\(f \in h^{LB} A \)に対して、唯一つの\(g \in h^B RA \)が存在することに対応した可換図式

このため、任意の\(f \)に対して、唯一つの\(g \)が存在するということは、(1) \(LB\)をドメインとして\(f\)を施して得たコドメイン\(A\)と、(2) \(B\)をドメインとして\(g\)を施して得たコドメインを関手\(L\)によって\(\mathcal{C}\)の側に移した\(A\)とには、(1)と(2)とも\(B\)からスタートして同じところに至ると言い換えることができるので、ストリング・ダイアグラムで表すと図７のようになる。

f:id:bitterharvest:20200512084641p:plain:w300 — 図７：可換図式をストリング・ダイアグラムで表す。

それでは図７の右側を変形すると図8になる。ここで(1)はスタート。(2)は\(LgB\)を詳細にしたもの。(3)は\(ε: LR \rightarrow I_\mathcal{C}\)で置き換えたもの。(4)は(3)を見やすくしたものである。

f:id:bitterharvest:20200512101937p:plain — 図８：ストリング・ダイアグラムを変形して、\(ε: LR \rightarrow I_\mathcal{C}\)を得る。

逆の場合についても考えてみよう。今度は任意の射\(g \in h^B RA \)を取りだすと、これに対して\(Φ^{-1}_{A,B}g=f\)となるような\(f \in h^{LB} A \)が唯一つ存在するという場合である。図９に示すように、\(B\)から出発して\(RA\)に到達する経路は二つあるが、これらは可換である。